📑  Линейная алгебра. Практическая работа №00

Элементы комбинаторики. Подстановка

1. Перестановки, размещения, сочетания

Активируйте этот код перед использованием любых ячеек Linked Cells

2. Свойства перестановок

$\{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7\} \to \{a_3 a_2 a_4 a_1 a_5 a_7 a_6\} \\ \tau = \begin {cases} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \\ 3 \ 2 \ 4 \ 1 \ 5 \ 7 \ 6 \end{cases}$

$e = \begin {cases} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \\ 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \end{cases}$

$\tau \circ e = e \circ \tau = \tau \\ \tau \circ \tau ^{-1} = \tau ^ {-1} \circ \tau = e \\ \tau_1 \circ (\tau_2 \circ \tau_3) = (\tau_1 \circ \tau_2) \circ \tau_3$

$\tau_1 \circ \tau_2 \neq \tau_2 \circ \tau_1$

$\{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7\} \to \{a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_1\} \\ \tau = \begin {cases} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \\ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 1 \end{cases}$

$\{a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7\} \to \{a_2 a_1 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7\} \\ \tau = \begin {cases} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \\ 2 \ 1 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \end{cases}$

$\tau = \begin {cases} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \\ 3 \ 2 \ 4 \ 1 \ 5 \ 7 \ 6 \end{cases} \\ (2,1), (3,1), (4,1), \\ (3,2), \\ (7,6)$

3. В формуле определителя n-ого порядка

$\large{\displaystyle{| \Delta | = \sum_i (-1)^{t(j)} a_{1j_1}a_{2j_2}}...a_{nj_n}}$, где

$\{j_1, j_2, ..., j_n\}$ - все возможные перестановки из чисел $\{1, 2, ..., n\}$;

$t(j)$ - число инверсий для перехода от $\{1, 2, ..., n\}$ к $\{j_1, j_2, ..., j_n\}$.

4. Задание

$\tau = \begin {cases} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \\ 3 \ 5 \ 4 \ 1 \ 2 \ 8 \ 6 \ 7 \end{cases}$