📑   Линейная алгебра. Практическая работа №14

Тензоры

1. Основные понятия

- от $p$ векторов линейного простанства $V$ на полем $\mathbb{K}$

- и $q$ линейных функций двойственного к нему пространства $V'$,

- принимающая значения в $\mathbb{K}$,

- линейная по каждому аргументу при фиксированных остальных аргументах.

1) скаляры — тензоры типа (0, 0) $\mathbb{K}$;

2) векторы — тензоры типа (0, 1) $\mathbb{K} \to V$;

3) линейные функции — тензоры типа (1, 0) $V \to \mathbb{K}$;

4) билинейные функции — тензоры типа (2, 0) $V \times V \to \mathbb{K}$;

5) линейные операторы — тензоры типа (1, 1) $V \to V$.

Активируйте этот код перед использованием любых ячеек Linked Sage Cells

Активируйте этот код перед использованием любых ячеек Linked Python Cells

Активируйте этот код перед использованием любых ячеек Linked R Cells

2. Умножение тензоров второго ранга

$ab = (a_m e_m)(b_n e_n) = a_m b_n e_m e_n$

$e_m e_n$ - линейно независимые комбинации, элементы тензорного базиса.

$E \cdot x = x \cdot E = x$

$E = e_1 e_1 + e_2 e_2 + e_3 e_3$

$AB \cdot c = a_m (b_m \cdot c), c \cdot AB = (c \cdot a_m) b_m$

! тензор 2-го ранга на вектор = вектор

$AB \times c = a_m (b_m \times c), c \times AB = (c \times a_m) b_m$

! тензор 2-ого ранга на вектор = тензор 2-ого ранга

$AB c = a_m b_m c, c AB = c a_m b_m$

! тензор 2-ого ранга на вектор = тензор 3-ого ранга

$AB \cdot GH = (a_m b_m) \cdot (g_n h_n) = (b_m \cdot g_n) a_m h_n$

! тензор 2-ого ранга на тензор 2-ого ранга = тензор 2-ого ранга

$AB \times GH = (a_m b_m) \times (g_n h_n) = a_m (b_m \times g_n) h_n$

! тензор 2-ого ранга на тензор 2-ого ранга = тензор 3-ого ранга

$AB \ GH = a_m b_m g_n h_n$

! тензор 2-ого ранга на тензор 2-ого ранга = тензор 4-ого ранга

$AB \cdot \cdot GH = (a_m b_m) \cdot \cdot (g_n h_n) = (b_m \cdot g_n) (a_m \cdot h_n)$

! тензор 2-ого ранга на тензор 2-ого ранга = скаляр

$AB \times \times GH = (a_m b_m) \times \times (g_n h_n) = (b_m \times g_n) (a_m \times h_n)$

! тензор 2-ого ранга на тензор 2-ого ранга = тензор 2-ого ранга

$AB \cdot \times GH = (a_m b_m) \cdot \times (g_n h_n) = (b_m \cdot g_n) (a_m \times h_n)$

! тензор 2-ого ранга на тензор 2-ого ранга = вектор

$AB \times \cdot GH = (a_m b_m) \times \cdot (g_n h_n) = (b_m \times g_n) (a_m \cdot h_n)$

! тензор 2-ого ранга на тензор 2-ого ранга = вектор

1) $c \cdot A = A^T \cdot c$;

2) $(c \times A)^T = −A^T \times c$;

3) $c \cdot A \cdot d = d \cdot A^T \cdot = A \cdot \cdot (dc) = (dc) \cdot \cdot A$;

4) $(c \times d) \times A = (dc − cd) \cdot A$;

5) $(A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T$;

3. Примеры применения тензорного исчисления

${x’} = \frac{2 \ x}{x^{2} + y^{2}} \ ; \ {y’} = \frac{2 \ y}{x^{2} + y^{2}} $

$\begin{array}{llcl} \Delta_1: \ Md \ \longrightarrow \ \mathbb{R}^3 \\ \mbox{on}\ U : \ \left(x, y\right) \longmapsto \left(X, Y, Z\right) = \left(\frac{x}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} + 1}\right) ; \ \mbox{on}\ V : \ \left({x’}, {y’}\right) \longmapsto \left(X, Y, Z\right) = \left(\frac{3 \, {x’}}{{x’}^{2} + {y’}^{2} + 1}, \frac{3 \, {y’}}{{x’}^{2} + {y’}^{2} + 1}, - \frac{{x’}^{2} + {y’}^{2} - 1}{{x’}^{2} + {y’}^{2} + 1}\right) \end{array} $

$\begin{array}{llcl} \Delta_2: \ Md \ \longrightarrow \ \mathbb{R}^3 \\ \mbox{on}\ U : \ \left(x, y\right) \longmapsto \left(X, Y, Z\right) = \left(\frac{6 \, x}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{6 \, y}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} + 1}\right) ; \ \mbox{on}\ V : \ \left({x’}, {y’}\right) \longmapsto \left(X, Y, Z\right) = \left(\frac{12 \, {x’}}{{x’}^{2} + {y’}^{2} + 1}, \frac{12 \, {y’}}{{x’}^{2} + {y’}^{2} + 1}, - \frac{{x’}^{2} + {y’}^{2} - 1}{{x’}^{2} + {y’}^{2} + 1}\right) \end{array}$

4. Задание

5. Отдельная ячейка для дополнительных экспериментов