📑   Линейная алгебра. Практическая работа №12

Линейные пространства.

Линейные преобразования и операторы

1. Линейные пространства

$(1) \ \forall x, y \in \mathbb{L} : x + y = y + x$ (коммутативность сложения);

$(2) \ \forall x, y, z \in \mathbb{L} : x + (y + z) = x + (y + z)$ (ассоциативность сложения);

$(3) \ \exists 0 \in \mathbb{L} \ \forall x \in \mathbb{L} : x + 0 = x$ (существование нулевого вектора);

$(4) \ \forall x \in \mathbb{L} \ \exists -x \in \mathbb{L} : x + (-x) = 0$ (существование противоположного вектора);

$(5) \ \forall x \in \mathbb{L} : 1 \cdot x = x$ (существование единичного вектора);

$(6) \ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \forall x \in \mathbb{L} : (\alpha \cdot \beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x)$;

$(7) \ \forall \alpha \in \mathbb{C}, \forall x, y \in \mathbb{L} : \alpha \cdot (x + y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y$ (дистрибутивность-1);

$(8) \ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \forall x \in \mathbb{L} : (\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x$ (дистрибутивность-2).

Примеры

$\overrightarrow{0}\{0;0;0\}$ - нулевой вектор

$\overrightarrow{i}\{1;0;0\}, \overrightarrow{j}\{0;1;0\}, \overrightarrow{k}\{0;0;1\}$ — единичные направляющие векторы координатных осей

$\overrightarrow{v}\{x;y;z\} = x \cdot \overrightarrow{i} + y \cdot \overrightarrow{j} + z \cdot \overrightarrow{k}$

$\{x;y;z\}$ - {абсцисса; ордината; аппликата}

$\overrightarrow{v_{xy}}\{x;y;0\}$ - проекция $\overrightarrow{v}\{x;y;z\}$ на плоскость $Oxy$

$\begin{cases} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \\ z = h \end{cases}; \ \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \cos \varphi = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ \sin \varphi = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ h = z \end{cases}$

$\begin{cases} x = r \cos \varphi \cos \vartheta \\ y = r \sin \varphi \cos \vartheta \\ z = r \sin \vartheta \end{cases}$

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ - коллинеарны $\iff \exists \ \alpha, \beta \neq 0$ одновременно: $\alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ - компланарны $\iff \exists \ \alpha, \beta, \gamma \neq 0$ одновременно: $\alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b} + \gamma \overrightarrow{c}= \overrightarrow{0}$

$\alpha_1 \overrightarrow{x_1} + \alpha_2 \overrightarrow{x_2} + ... + \alpha_n \overrightarrow{x_n}$

$0 \overrightarrow{x_1} + 0 \overrightarrow{x_2} + ... + 0 \overrightarrow{x_n} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{x}\{x_1;x_2;x_3\} \cdot \overrightarrow{y}\{y_1;y_2;y_3\} \cdot \overrightarrow{z}\{z_1;z_2;z_3\} = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} = 0$

Активируйте этот код перед использованием любых ячеек Linked Sage Cells

Активируйте этот код перед использованием любых ячеек Linked Python Cells

Активируйте этот код перед использованием любых ячеек Linked R Cells

2. Линейные преобразования

$\begin {cases} \overrightarrow{f_1} = c_{11}\overrightarrow{e_1} + c_{12}\overrightarrow{e_2} + ... + c_{1n}\overrightarrow{e_n} \\ \overrightarrow{f_2} = c_{21}\overrightarrow{e_1} + c_{22}\overrightarrow{e_2} + ... + c_{2n} \overrightarrow{e_n} \\ ... \\ \overrightarrow{f_n} = c_{n1}\overrightarrow{e_1} + c_{n2}\overrightarrow{e_2} + ... + c_{nn} \overrightarrow{e_n} \end{cases}$

$C: (\mathfrak{e_1},\mathfrak{e_2},\mathfrak{e_3}) \to (\mathfrak{f_1},\mathfrak{f_2},\mathfrak{f_3}) \\ \begin{cases} \mathfrak{e_1} \{1;3;3\} \\ \mathfrak{e_2} \{-3;-3;-2\} \\ \mathfrak{e_3} \{-2;2;3\} \end {cases} \to \begin {cases} \mathfrak{f_1} \{1;4;-2\} \\ \mathfrak{f_2} \{-2;-1;2\} \\ \mathfrak{f_3} \{4;1;-2\} \end{cases}$

$\mathfrak{e} \{-19;7;16\} \to \mathfrak{f} \{x;y;z\}?$

3. Линейные операторы

$A: V \to W$

$\forall x \in V \ \exists y \in W: y = Ax$

1) $A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2$

2) $A(\lambda x) = \lambda (Ax)$

$A = C^{-1} * \tilde{A} * C$

$\tilde{A} = C * A * C^{-1}$

$A\mathfrak{e_1=f_1}: \mathfrak{e_1}\{1;3;3\}; \mathfrak{f_1} \{1;4;-2\} \\ A\mathfrak{e_2=f_2}: \mathfrak{e_2}\{-3;-3;-2\}; \mathfrak{f_2} \{-2;-1;2\} \\ A\mathfrak{e_3=f_3}: \mathfrak{e_3}\{-2;2;3\}; \mathfrak{f_3} \{4;1;-2\}$

$A\mathfrak{e=f}: \mathfrak{e}\{-19;7;16\}; \mathfrak{f} \{x;y;z\}?$

$C: (\mathfrak{e_1},\mathfrak{e_2},\mathfrak{e_3}) \to (\mathfrak{f_1},\mathfrak{f_2},\mathfrak{f_3}) \\ \begin{cases} f_1 = e_1+ e_2 + e_3 \\ f_2 = 2 e_1+ 3 e_2 + 4 e_3 \\ f_3 = 3 e_1+ 5 e_2 + 8 e_3 \end{cases}$

$A = \begin{pmatrix} -3 & -4 & -1 \\ 4 & -3 & -3 \\ -3 & 2 & -6 \end{pmatrix} \to \tilde{A} ?$

4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

$A \overline{u} = \lambda \overline{u} \iff \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda x \\ \lambda y \\ \lambda z \end{pmatrix} \iff \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}-\lambda \end{vmatrix} = 0$

5. Задание

$A\mathfrak{e_1=f_1}: \mathfrak{e_1}\{-2;-2;-3\}; \mathfrak{f_1} \{-1;3;4\} \\ A\mathfrak{e_2=f_2}: \mathfrak{e_2}\{-1;-1;1\}; \mathfrak{f_2} \{1;-1;-3\} \\ A\mathfrak{e_3=f_3}: \mathfrak{e_3}\{2;3;-2\}; \mathfrak{f_3} \{1;4;-2\}$

$A\mathfrak{e=f}: \mathfrak{e}\{-17;-20;-3\}; \mathfrak{f} \{x;y;z\}?$

6. Отдельная ячейка для дополнительных экспериментов